No PicPay, só dá para apagar uma conversa por vez nas Mensagens. Veja como funciona:
No Android:
Entre nas mensagens, tocando no ícone no canto superior direito;
Toque e segure na conversa que quer apagar;
Vai aparecer a opção Apagar conversa com a lixeira;
Toque em Apagar conversa.
No iOS:
Entre nas mensagens, tocando no ícone no canto superior direito;
Arraste para a esquerda a conversa que quer apagar;
Vai aparecer Apagar e Cancelar;
Toque em Apagar.
Depois disso, a conversa desaparece da sua lista e não pode ser restaurada. Para começar uma nova conversa, é só buscar pelo @nomedeusuário e iniciar normalmente. Veja também como silenciar ou bloquear conversas.